1.- La ciencia tiene sus límites.

Todo conocimiento científico necesita apoyarse en (al menos) cinco supuestos (o dogmas de fe científica) sin los cuales desaparecería como tal:

a) Objetividad: La observación no va a modificar lo observado de forma imposible de determinar.
b) Inteligibilidad: todo fenómeno ha de ser comprensible para el ser humano.
c) Sencillez: dadas dos teorías con similares grados de generalidad, expresividad y predictibilidad, siempre ha de ser mejor la más sencilla.
d) Consistencia: toda nueva teoría ha de ser consistente con las teorías existentes.
e) Falsabilidad: toda hipótesis con capacidad predicitiva:

i. debe poder ser falsada (sin embargo puede que lo falsado sea un "cinturón" de hipótesis auxiliares que "proteja" de todas posible falsación a la hipótesis central);
ii. es incorrecta si es falsada (sin embargo las falsaciones pueden ser sólo aparentes y estar falsando otra cosa).

2.- El conocimiento científico tiende a ser sobrevalorado y extrapolado injustificadamente.

Feyerabend describió la ciencia como [una forma de conocimiento] esencialmente anárquica, obesionada con su propia mitología, habituada a hacer afirmaciones cuya veracidad cae bien lejos de sus capacidades reales...

Dado que no todo el conocimiento científico [de la humanidad] ha sido obtenido por medio de un mismo método universal que garantice la calidad de sus descubrimientos, Feyerabend cree que no hay ninguna justificación que permita valorar las afirmaciones científicas por encima de [las afirmaciones procedentes de] otros sistemas de creencias como, por ejemplo, las religiones.

Feyerabend también cree que los logros científicos tales como la llegada del hombre a la Luna no son razones suficientemente como para otorgar al conocimiento científico un rango [de conocimiento] superior. En su opinión no es justo usar premisas científicas para decidir cuáles son los problemas que realmente vale la pena resolver para poder así juzgar el mérito o demérito de otros sistemas de creencias.

Para terminar, no hay que olvidar que en todo logro científico siempre han participada elementos no científicos tales como, por ejemplo, la inspiración procedente de fuentes míticas o religiosas.
http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Feyerabend

3.- Ni siquiera la matemática se puede justificar a sí misma.

En la segunda mitad del s. XIX los matemáticos lucharon por establecer el conjunto mínimo de reglas que regulan el conocimiento humano.

George Boole (1815-1865) diseñó un álgebra (conjunto finito de reglas bien definidas que se aplican sobre un conjunto de elementos) formada por dos símbolos (0 y 1) y dos operaciones (suma y resta) que le permitía describir cualquier operación matemática básica.

Claude Shannon se basó en el álgebra de Boole para optimizar el diseño de relés eléctricos que guiaran señales eléctricas.
http://en.wikipedia.org/wiki/Boole

Sin embargo, el Álgebra de Boole no era suficientemente potente como para describir todas las operaciones lógicas.

A finales del s. XIX Gottlob Frege (1848-1925) desarrolló la teoría de conjuntos para demostrar que toda matemática se basaba en la lógica.
http://en.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege

Sin embargo, Alfred North Whitehead y Bertrand Russell descubrieron en sus Principia Mathematica que la teoría de conjuntos era inconsistente. Permitía afirmar una cosa y su contraria a la vez.

a) Hay conjuntos que son miembros de sí mismos (el conjunto de las ideas matemáticas es una idea matemática), y conjuntos que no lo son (el conjunto de los días de la semana no es un día de la semana).

b) El conjunto de todos los conjuntos que no son subconjuntos de sí mismos:

i. si es subconjunto de sí mismo, no es subconjunto de sí mismo;
ii. si no es subconjunto de sí mismo, sí es subconjunto de sí mismo.

http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Russell

Así pues, Ni el álgebra de Boole, ni la Teoría de Conjuntos de Frege eran otra cosa que potentes herramientas expresivas. No servían, sin embargo, para fundamentar la matemática.

Kurt Gödel (1906-1978) se empeñó en demostrar que la teoría de conjuntos y la lógica eran la base de toda la matemática. Sin embargo, descubrió ("Sobre proposiciones formalmente indecidibles en los 'Principia Mathematica' y sistemas relacionados") que no puede demostrarse la consistencia de todo sistema formal completo usando sólo las reglas de ese sistema. Dicho de otra forma: a partir de las reglas del ajedrez no se puede decidir si se ha llegado a una determinada configuración de las piezas en el tablero siguiendo las reglas del ajedrez.
http://es.wikipedia.org/wiki/Gödel

Alan Turing quiso comprobar las afirmaciones teóricas de Gödel usando el álgebra de Boole. Diseñó una máquina abstracta universal de cómputo. En teoría podía computar cualquier algoritmo, invalidando las conclusiones de Gödel. Pero Turing pronto descubrió que, dado un algoritmo y una entrada finita, no hay forma de decidir si el programa va a terminar (1+1=2) o si va a continuar de forma indefinida (siendo x=1 hágase x=x+1 mientras x>1).
http://es.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing
http://en.wikipedia.org/wiki/Halting_problem

Turing acababa de demostrar por otro camino distinto las conclusiones de Gödel. La matemática acababa de demostrar matemáticamente por dos caminos distintos que es incapaz de definirse a sí misma. Matematizar no es otra cosa que hablar usando un lenguajes especializado.